IND04.Progetto del controllore

Fondamentalmente si tratta di questo:
in uno schema di un sistema di controllo completo come:

Devi progettare unicamente la FdT del controllore ovvero $C(s)$.

Da qui in poi, considereremo sempre $C(s)=\frac{K_c}{s^h}{C}^{\prime }(s)$ dove i vincoli statici (tempo di salita $t_s$, sovraelongazione massima) saranno dettati da $K_C$ e $1/s^h$ ($h$ il numero di integratori).

• Le specifiche su $t_s$ portano ad individurare un valore desiderato della pulsazione di crossover ${\omega }_{c,\text{des}}$
• Le specifiche sulla sovraelongazione massima o sul picco di risonanza portano ad individuare un valore minimo del margine di fase $m_{\phi ,\min }$. La $C^{\prime }(s)$ viene allora costruita in modo che $G_a(s)$ abbia ${\omega }_c\approx {\omega }_{c,\text{des}}$ e $m_{\phi }\ge m_{\phi ,\min }$.
• Per costruire $C^{\prime }(s)$ accordingly, prima di tutto la poni $C^{\prime }(s)=1$ e vedi di quanto ti discosti da ciò che volevi:
  • $G_{a,1}(s)=\frac{K_c}{s^h}F(s)$
  • Valutiamone modulo e fase per $\omega ={\omega }_{c,\text{des}}$
    • Otteniamo una $\Delta m_{dB}$ (variazione di modulo) definita come il numero di Decibel (si può anche fare in unità naturali) necessarie a portare la pulsazione di crossover di $G_{a,1}$ a ${\omega }_{c,\text{des}}$
      • $\Delta m_{dB}=-|G_{a,1}(j{\omega }_{c,\text{des}}){|}_{dB}$
      • Sì perchè in sostanza a ${\omega }_{c,\text{des}}$ dovrei avere modulo $0$ dB per avere che quella sia veramente la pulsazione di crossover, quindi devo sicuramente mettere il $-$ davanti (devo operare un movimento opposto).
    • Otteniamo un $\Delta \phi$ (variazione di fase) definita come il numero di gradi o radianti necessari ad ottenere $m_{\phi }>m_{\phi ,\min }$ alla pulsazione ${\omega }_{c,\text{des}}$
      • Anche qui, alla pulsazione di crossover hai che corrisponde esattamente il margine di fase
      • se è positivo allora la variazione di fase che va introdotta è un anticipo, se è negativa è un ritardo
  • Una volta valutati gli scostamenti da ciò che la specifica richiede usando $C^{\prime }(s)=1$, si può procedere a cercare di capire come effettivamente $C^{\prime }(s)$ deve essere fatto: in pratica, $C^{\prime }(s)$ è la FdT di un complesso di reti di compensazione.

Principali reti di compensazione

Anticipatrici o derivative

Una rete anticipatrice ha una FdT del tipo
$R_d(s)=\frac{1+{\tau }_{d}s}{1+\frac{{\tau }_d}{m_d}s}$
con ${\tau }_d>0,m_d>1$, uno zero in $s=-1/{\tau }_d$ e un polo in $s=-m_d/{\tau }_d$.

• I valori di $m_d$ che considereremo sono sempre $\in [2,16]$.
• All’aumentare di $m_d$ cresce l’anticipo di fase e anche il modulo nella pulsazione di crossover
  • m_d=\frac{1+\sin(\varphi_\max)}{1-\sin(\varphi_\max)}
  • \varphi_\max=\arcsin\left(\frac{m_d-1}{m_d+1}\right)
  • La ${\tau }_d$ si trova da ${\omega }_{c,\text{des}}{\tau }_d=\sqrt{m_d}$
  • $\text{AumentoModulo}=\left|R_d\left(j\frac{\sqrt{m_d}}{{\tau }_d}\right)\right|$
• Quindi le reti anticipatrici si usando quando si vuole recuperare fase e si vuole recuperare modulo, qunidi $\Delta m_{dB}>0$ e $\Delta \phi >0$. Se il recupero di fase da soddisfare non è maggiore di $60°$ allora se ne può usare una sola, altrimenti sarebbe opportuno utilizzare due o più reti anticipatrici. Tuttavia l’aumento del modulo può pregiudicare il poter utilizzare questo metodo (nel caso in cui sia $\text{AumentoModulo}>\Delta m_{dB}$).
• Se si decide di optare per una rete anticipatrice e $\Delta m_{dB}$ ancora non viene completamente compensato dal recupero che la rete offre, si può agire direttamente su $K_c$ per avere $|G_a(j\omega )|=1$ in unità naturali per $\omega ={\omega }_{c,\text{des}}$.
• Cazzo è la frequenza di lavoro?

Attenuatrici o integrative

Una rete attenuatrice ha una FdT del tipo:
$R_i(s)=\frac{1+\frac{{\tau }_i}{m_i}s}{1+{\tau }_{i}s}$
con ${\tau }_i>0,m_i>1$, uno zero in $s=-m_i/{\tau }_i$ e un polo in $s=-1/{\tau }_i$.
All’aumentare di $m_i$ cresce il ritardo di fase e diminuisce l’attenuazione del modulo nella pulsazione di crossover
- $m_i$ si trova da $m_i=|G_a^{\prime }(j{\omega }_{c,\text{des}}|$ con $G_a^{\prime }$ la FdT a catena aperta prima dell’inserimento della rete integrativa
- La ${\tau }_i$ si trova da ${\omega }_{c,\text{des}}{\tau }_i=X_i$ dove $X_i$ è la frequenza di lavoro per cui l’attenuazione e la perdita di fase coincidano con le specifiche (non troppo grande altrimenti costante di tempo molto grande ⇒ risposta troppo lenta)

• Quindi le reti attenuatrici si usando quando si vuole attenuare il modulo senza troppo toccare la fase.
• Cazzo è la frequenza di lavoro?

Integro-derivative o lead-lag

La loro FdT è:
$R_{id}(s)=R_i(s)R_d(s)$
Cioè sono frutto del collegamento in serie di una integrativa e di una derivativa, quindi forniscono in un colpo solo attenuazione di modulo e recupero di fase alla frequenza ${\omega }_{c,\text{des}}$.

• Si progetta prima la derivativa, per garantire un recupero di fase maggiore di quello necessario, poichè la integrativa comporterà una perdita della stessa.
  • Se l’anticipo è molto alto, usare più derivative in serie.
• Si progetta poi la rete integrativa scegliendo $m_i$ in modo da avere l’attenuazione di modulo richiesta ed una perdita di fase sopportabile.

Altre reti di compensazione

Filtro risonatore

È possibile annullare ogni disturbo se tutti i disturbi agenti sul sistema sono alla medesima e unica pulsazione nota ${\omega }_R$.
Si fa aggiungendo un filtro risonatore a monte del disturbo attivo.

Filtro notch

Stessa cosa del filtro risonatore ma invece di metterlo a monte del disturbo attivo lo metti a valle dell’ultimo disturbo attivo.

Compensatore PI

Se le specifiche di precisione impongono una catena aperta di tipo 1, allora il controllore dovrebbe contenere un polo nell’origine ($h=1$).
Se in tali casi serve anche un buon anticipo di fase può essere conveniente “aggiungere uno zero reale” ovvero avere un controllore con funzione di trasferimento
$C(s)=C_{\text{PI}}(s)=\frac{1+\tau s}{s}$ Si può usare quindi al posto di una rete derivativa.

• Come cazzo determino $\tau$?

Introduzione di poli reali instabili

Esiste un controllore $C(s)$, internamente stabile se il sistema presenta un numero pari di poli tra ciascuna coppia di zeri sul semiasse reale non negativo

Ciò vuol dire che a volte è necessario inserire un polo instabile nel controllore per stabilizzare il
sistema. È possibile che introdurre anche uno zero per avere un anticipo di fase.

• Anche qui come cazzo determino il tuttecose?

Controllori PID

Famiglia particolare di controllori, costituiti da una parte Proporzionale, una Integrativa e una Derivativa.
Per poterli progettare si può scegliere una delle seguenti vie:

• Utilizzare un metodo di taratura in anello chiuso effettuata retroazionando il sistema con un compensatore statico
• Utilizzare un metodo di taratura in anello aperto effettuata sul sistema senza inserire alcun tipo di controllo

Sono caratterizzati da tre parametri liberi, i quali, una volta individuati, permettono di ottenere il controllore; proprio per questo
motivo i PID sono utilizzati in situazioni semplici (statiche) e difficilmente riescono ad operare in situazioni più complesse (dinamiche).

• Il termine proporzionale amplifica l’ingresso e non è in grado di garantire errori di inseguimenti nulli
• Il termine integrale elimina l’errore in regime permanente a fronte di segnali di riferimento costanti (e disturbi additivi costanti sull’uscita. Introduce un ritardo di fase)
• La parte derivativa può portare ad un’eccessiva attività sul comando

I parametri liberi sono $K_P$, $K_I$ e $K_D$. La FdT di un controllore PID è:
$R_{\text{PID}}=K_P+\frac{K_I}{s}+K_{D}s=$
$=K_P\left(1+\frac{K_I}{K_{P}s}+\frac{K_{D}s}{K_P}\right)=K_P\left(1+\frac{1}{T_{I}s}+T_{D}s\right)$
con

• $T_I$ tempo integrale $=\frac{K_P}{K_I}$
• $T_D$ tempo derivativo $=\frac{K_D}{K_P}$

La FdT tuttavia se la scrivi per esteso è improprio quindi irrealizzabile ⇒ va aggiunto un polo di chiusura all’interno del blocco derivativo. Quindi la FdT reale di un controllore PID è:
$K_P\left(1+\frac{1}{T_{I}s}+\frac{T_{D}s}{1+\frac{T_D}{N}s}\right)$

Solo che pure questa cosa presenta problemi: in particolare, la parte derivativa ha ora una Delta di Dirac come risposta al gradino.
Per ovviare si può decidere di modificare lo schema in due modi:

• applicare la rete derivativa solo sull’uscita e poi sommarla agli altri due contributi (gli zeri dalla catena chiusa diventano l’unione tra quelli del modello matematico del sistema fisico e lo zero della parte integrativa, mentre i poli restano invariati)
  • 
• per non far comparire lo zero della parte integrativa nella funzione di trasferimento della catena chiusa, si può spostare anche la parte proporzionale (i poli restano comunque invariati)
  • 

Metodi di taratura

Taratura = scegliere i 3 parametri $K_P$, $K_D$, $K_I$.

In anello chiuso - metodo di Ziegler-Nichols

In anello aperto - metodo della tangente

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