TAR02.Modellistica di sistemi elettrici

Elementi fondamentali

• Resistori ideali
  • Si usa convenzione utilizzatori (verso di corrente = -verso di tensione)
  • equazione costituiva: $v(t)=R{i}_R(t)$
  • equazione costituiva nel dominio delle trasformate di Laplace: $V(s)=R{I}_R(s)$
  • la relazione costituiva è di tipo statico, quindi non c’entra con le equazioni di stato del sistema
  • unità di misura: $\Omega$ (Ohm)
• Condensatori ideali
  • Si usa convenzione utilizzatori (verso di corrente = -verso di tensione)
  • equazione costituiva: $i_C(t)=C\frac{d{v}_C(t)}{dt}$
  • equazione costituiva nel dominio delle trasformate di Laplace: $I_C(s)=sC{V}_C(s)-C{V}_C(0^{-})$ (trasformata di Laplace monolatera da $0^{-}$)
  • la relazione costituiva è di tipo dinamico, con $v_C$ variabile di stato.
  • unità di misura: $F$ (Farad)
  • insieme agli induttori ci danno le equazioni di stato
• Induttori ideali
  • Si usa convenzione utilizzatori (verso di corrente = -verso di tensione)
  • equazione costituiva: $v_L(t)=L\frac{d{i}_L(t)}{dt}$
  • equazione costituiva nel dominio delle trasformate di Laplace: $V_L(s)=sL{i}_L(s)-L{i}_L(0^{-})$
  • la relazione costituiva è di tipo dinamico, con $i_L$ variabile di stato.
  • unità di misura: $H$ (Henry)
  • insieme ai condensatori ci danno le equazioni di stato
• Generatori ideali
  • Si usa convenzione generatori (verso di corrente = verso di tensione)
  • sono gli ingressi del sistema

Rappresentazione in variabili di stato del sistema

Significa trovare le matrici $A$, $B$, $C$, $D$ in funzione dei parametri del sistema.
(sneak peek: $D$ è una matrice di zeri se il sistema è proprio)

1. Si scrivono le equazioni costituive dei componenti con memoria (condensatori e induttori)
2. Si scrivono le equazioni topologiche (Kirchhoff alle nodi o alle maglie)
3. Si introduce una variabile di stato per ogni componente con memoria (tensioni ai capi dei condensatori e correnti negli induttori). OCCHIO: se ci sono reti degeneri (maglie con solo generatori di tensione e condensatori, oppure nodi dove arrivano solo correnti provenienti da generatori di corrente e induttori), va sistemato! Le variabili di stato devono essere indipendenti, altrimenti una o più delle variabili di stato sarebbero combinazioni lineari delle precedenti (inutili). Se succede, conviene associare la variabile di stato ad un altro componente del circuito (es. due induttori in serie ad un resistore ⇒ conviene considerare la variabile di stato come “corrente nel resistore” (così è singola)). In quei casi il numero di equazioni di stato (= dimensione sistema) è strettamente minore del numero di componenti con memoria, e uguale al numero di variabil di stato linearmente indipendenti.
4. Si associa una variabile di ingresso $u_j$ ad ogni generatore ideale
5. Il lavoro è di sostituzione algebrica: bisogna ricavare ogni $x_i(t)$ (tante quante sono le variabili di stato) e ogni $y_k(t)$ in funzione unicamente di variabili di ingresso e stato.
   Esercizi su quaderno.