TAR07.Esempi di analisi con Laplace di sistemi LTI TC

Trovi i procedimenti fatti in esempi sul quadernetto.

Calcolare l’inversa di $(s{I}_n-A)$

$(s{I}_n-A{)}^{-1}=\frac{1}{\text{det}(sI-A)}\text{Adj}(sI-A)$
La matice strana che compare nella formula è la matrice aggiunta, ovvero la trasposta della matrice dei complementi algebrici di $(sI-A)$;
i complementi algebrici sono
Questo funziona con qualunque dimensione e qualunque matrice.
In particolare, in una matrice $2\times 2$ la matrice aggiunta è calcolabile scambiando di posto gli elementi sulla diagonale e scambiando di segno gli elementi sulla antidiagonale.
In generale, invece, la matrice dei complementi algebrici ha come generico elemento
$c_{i,j}=(-1{)}^{i+j}\text{det}(\text{sottomatrice che si ottiene eliminando riga i e colonna j dalla matrice (sI−A)T})$

Scomposizione in fratti semplici

Questa cosa è essenziale perchè non vuoi davvero fare la trasformata di Laplace di funzioni complicate, quelle cose le fa MATLAB se pure ci va bene. Quindi noi cerchiamo di semplificarci la vita e davanti ad una funzione del genere:
$F(s)=\frac{b_m{s}^m++b_{m-1}{s}^{m-1}+\text{...}+b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\text{...}+a_{1}s+a_0}=\frac{N_F(s)}{D_F(s)}$
possiamo cercare di scriverla in fratti semplici (sviluppo di Heaviside), che saranno ognuno molto semplice da trasformare con Laplace.
Nei seguenti paragrafi si considera già di non avere radici comuni tra numeratore e denominatore (si semplificano).

FdT strettamente propria + poli reali + poli di molteplicità unitaria

$F(s)=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\text{...}+b_{1}s+b_0}{(s-p_1)(s-p_2)\text{...}(s-p_n)}=$
$=\frac{R_1}{s-p_1}+\frac{R_2}{s-p_2}+\text{...}+\frac{R_n}{s-p_n}={\sum }_{i=1}^n\frac{R_i}{s-p_i}$
Con $R_i$ detto residuo associato all’$i$-esimo polo.
Ogni residuo si calcola come ${\lim }_{s\to p_i}(s-p_i)F(s)$Con quella moltiplicazione semplifico il fattore $s-p_i$ che ho al denominatore, evitando che il denominatore vada a $0$ nel limite e che tutto tiri su ad infinito.

FdT strettamente propria + poli anche complessi + poli di molteplicità unitaria

$F(s)=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+\text{...}+b_{1}s+b_0}{(s-p_1)(s-{\sigma }_0-j{\omega }_0)(s-{\sigma }_0+j{\omega }_0)\text{...}(s-p_n)}=$
$=\frac{R_1}{s-p_1}+\frac{R_2}{(s-{\sigma }_0-j{\omega }_0)}+\frac{R_2^{\ast }}{(s-{\sigma }_0+j{\omega }_0)}+\text{...}+\frac{R_n}{s-p_n}$
Cambia solo che i due residui associati alla coppia di poli complessi coniugati saranno l’uno il coniugato dell’altro (pertanto basterà calcolare uno dei due) e successivamente, in fase di anti-trasformazione, si può usare questa formula per anti-trasformare la somma dei due in un colpo solo: ${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{R_2}{(s-{\sigma }_0-j{\omega }_0)}+\frac{R_2^{\ast }}{(s-{\sigma }_0+j{\omega }_0)}\right\}=2|R_2|e^{{\sigma }_{0}t}\cos ({\omega }_{0}t+\angle R_2)$
con $|R_2|$ e $\angle R_2$ che si fanno facili con la calcolatrice.

FdT strettamente propria + poli anche complessi + poli multipli

Nel caso di polo di molteplicità ${\mu }_i$ cambia il modo in cui si calcolano i residui (o meglio, la formula si generalizza):
$R_{i,k}={\lim }_{s\to p_i}\frac{1}{({\mu }_i-k)!}\frac{d^{{\mu }_i-k}}{d{s}^{{\mu }_i-k}}\left[(s-p_i{)}^{{\mu }_i}F(s)\right]$
Nel caso di molteplicità unitaria si ricade nella vecchia formula e in particolare in caso di molteplicità doppia si ha:
$R_{i,1}={\lim }_{s\to p_i}\frac{d}{ds}[(s-p_i{)}^{{\mu }_i}F(s)]⟹\frac{R_{i,1}}{(s-p_i)}$
$R_{i,2}={\lim }_{s\to p_i}[(s-p_i{)}^{{\mu }_i}F(s)]⟹\frac{R_{i,2}}{(s-p_i{)}^2}$

FdT strettamente impropria + poli anche complessi + poli multipli

Se si ha $m=n$ prima di procedere come sopra si effettua la divisione tra i polinomi $N_F(s)$ e $D_F(s)$.

Matlab

Calcolo dei residui della scomposizione in fratti semplici

[R, p, k] = residue(num, den);  

con

• num, den: numeratore, denominatore polinomiali della F(s)
• R: vettore dei residui
• p: radici del denominatore
• K: quoziente della divisione tra numeratore e denominatore di F(s)