Proprietà strutturali {#proprietà-strutturali heading=“Proprietà strutturali”}
Stabilità, raggiungibilità e controllabilità sono proprietà
strutturali, il che significa che un sistema simile ad un sistema in
esame avente una di queste proprietà la ha anch’esso.
Dire che due sistemi sono simili vuol dire che posso trasformare la
matrice di stato []{.math .math-inline .is-loaded} del primo sistema in
quella del secondo una trasformazione di similarità (un cambio di base).
In pratica, questo significa che le proprietà strutturali sono proprietà
del sistema che dipendono unicamente dagli autovalori della matrice
[]{.math .math-inline .is-loaded}.
Raggiungibilità {#raggiungibilità heading=“Raggiungibilità”}
Uno stato []{.math .math-inline .is-loaded} è detto raggiungibile dallo
stato []{.math .math-inline .is-loaded} al tempo []{.math .math-inline
.is-loaded} se con un particolare ingresso []{.math .math-inline
.is-loaded} riesco ad ottenere []{.math .math-inline .is-loaded}.
{.internal-embed}
Esiste quindi un insieme di raggiungibilità []{.math .math-inline
.is-loaded} che mi racchiude tutti gli stati raggiungibili partendo
dallo stato []{.math .math-inline .is-loaded} in un tempo finito (in
particolare, []{.math .math-inline .is-loaded}).\
Il sottospazio di raggiungibilità in particolare è l’insieme di
raggiungibilità di cardinalità più grande (quindi c’è un tempo
particolare al quale si manifesta l’insieme di dimensione massima).\
Se il sottospazio di raggiungibilità è diverso dall’intero spazio dello
stato (l’insieme dei possibili valori di []{.math .math-inline
.is-loaded}) ci sarà anche un insieme di non raggiungibilità: tali stati
non sono raggiungibili in tempo finito dal sistema, per nessun ingresso.
Controllabilità {#controllabilità heading=“Controllabilità”}
Uno stato []{.math .math-inline .is-loaded} si dice controllabile allo
stato []{.math .math-inline .is-loaded} al tempo []{.math .math-inline
.is-loaded} se con un particolare ingresso []{.math .math-inline
.is-loaded} riesco ad ottenere []{.math .math-inline .is-loaded}.
{.internal-embed}
Sistemi LTI {#sistemi-lti heading=“Sistemi LTI”}
Per sistemi LTI, []{.math .math-inline .is-loaded}, perlomeno a tempo
continuo.\
In sistemi a tempo discreto []{.math .math-inline .is-loaded} potrebbe
essere un po’ più piccolo: se []{.math .math-inline .is-loaded} non è
singolare, però, si ricade nel caso precedente.
Un sistema LTI completamente raggiungibile allora è anche
completamente controllabile. Noi faremo riferimento alle proprietà di
raggiungibilità.
Gli autovalori della matrice di stato []{.math .math-inline .is-loaded}
determinano completamente l’andamento della risposta (libera) del
sistema. È per questo che facciamo l’analisi modale: già analizzando
gli autovalori di []{.math .math-inline .is-loaded} si possono ottenere
tante informazioni sul sistema, in particolare, informazioni sulla sua
stabilità.
Gli autovalori di []{.math .math-inline .is-loaded} sono da
classificarsi in base alla raggiungibilità del sistema.\
In un sistema LTI non completamente raggiungibile succede che
alcuni autovalori della matrice []{.math .math-inline .is-loaded} sono
”da associare” al sottospazio di raggiungibilità e alcuni al
sottospazio di non raggiungibilità. Per ora non è troppo chiaro, ma lo
sarà vedendo la legge di controllo per la retroazione statica dello
stato. TAR18.Retroazione statica dello stato > Assegnazione degli
autovalori o legge di controllo
Sistemi LTI SISO - analisi della raggiungibilità {#sistemi-lti-siso---analisi-della-raggiungibilità heading=“Sistemi LTI SISO - analisi della raggiungibilità”}
L’analisi sulla raggiungibilità di un sistema a singolo ingresso può
essere fatta a partire dalle matrici di stato e degli ingressi. A
partire da queste, si può costruire la matrice di raggiungibilità del
sistema e fare un test su questa per determinare se il sistema sia
completamente raggiungibile o meno.
Nel caso di un sistema con un singolo ingresso, la matrice di
raggiungibilità ha la forma:\
[]{.math .math-block .is-loaded}dove []{.math .math-inline .is-loaded} è
la []{.math .math-inline .is-loaded} della []{.math .math-inline
.is-loaded} a cui appartiene []{.math .math-inline .is-loaded}, ovver la
dimensione del sistema, cioè il numero di equazioni di stato /
variabili di stato.\
Quando questa matrice ha rango pari ad []{.math .math-inline
.is-loaded}, il sistema è completamente raggiungibile.
::: {.callout callout-metadata="" callout-fold="" callout=“info”}
::: {.callout-title}
::: {.callout-icon}
{width=“24”
height=“24”}
:::
::: {.callout-title-inner}
Info
:::
:::
::: {.callout-content}
Rango e come non calcolarlo\
Il rango di una matrice è il numero di righe (o colonne) linearmente
indipendenti.
In pratica, significa che prendendo le righe (colonne) della matrice e
trattandole come vettori separati, usandoli come una base, si può creare
uno spazio vettoriale (combinando linearmente questi vettori) di
dimensione pari al rango.\
Rimuovendo dalla base un vettore non linearmente indipendente (quindi
che si può creare come combinazione lineare degli altri), lo spazio
vettoriale generato non cambia, in quanto quel vettore che ora è stato
rimosse non è mai davvero stato necessario alla generazione.
Il rango di una matrice si può vedere “ad occhio” nel momento in cui è
palese il rapporto che esiste tra le righe. Per esempio, in []{.math
.math-block .is-loaded}Il rango è []{.math .math-inline .is-loaded}, in
quanto la prima e la terza colonna sono evidentemente linearmente
indipendenti, mentre la colonna centrale è ricavabile moltiplicando la
prima per []{.math .math-inline .is-loaded}.\
A volte però non è ben visibile questo rapporto, per cui il metodo più
comune per il calcolo del rango prevede la riduzione della matrice
(mediante mosse di Gauss).
Nel nostro caso, non è nemmeno necessario calcolare esplicitamente il
rango.\
L’unica informazione di cui abbiamo bisogno è sapere se questa matrice
[]{.math .math-inline .is-loaded} abbia rango []{.math .math-inline
.is-loaded} oppure no.\
Dato che la matrice []{.math .math-inline .is-loaded} ha di per sè
[]{.math .math-inline .is-loaded} righe, perchè si abbia rango []{.math
.math-inline .is-loaded} è necessario che si abbia rango massimo (che
quindi tutte le sue righe / colonne siano linearmente indipendenti).\
Una conseguenza della presenza di righe o colonne non linearmente
indipendenti è che il determinante della matrice va a []{.math
.math-inline .is-loaded}. Quindi a noi basterà semplicemente verificare
che la matrice non sia singolare.
:::
:::
Nel caso invece di un sistema con più di un ingresso, la matrice di
raggiungibilità si costruisce come []{.math .math-block .is-loaded}dove
[]{.math .math-inline .is-loaded} è il rango di []{.math .math-inline
.is-loaded} (che generalmente è più semplice calcolare, ma non si sa mai
davvero). In effetti, il caso con un solo ingresso ha []{.math
.math-inline .is-loaded}.
::: {.callout callout-metadata="" callout-fold="" callout=“matlab”}
::: {.callout-title}
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{width=“24”
height=“24”}
:::
::: {.callout-title-inner}
Matlab
:::
:::
::: {.callout-content}
{.internal-embed}
{.internal-embed}
La matrice di raggiungibilità si può calcolare direttamente con il
comando ctrb(A).
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:::
Realizzazione di una funzione di trasferimento secondo la forma canonica di raggiungibilità {#realizzazione-di-una-funzione-di-trasferimento-secondo-la-forma-canonica-di-raggiungibilità heading=“Realizzazione di una funzione di trasferimento secondo la forma canonica di raggiungibilità”}
Sostanzialmente la domanda è:
- se ho una funzione di trasferimento []{.math .math-inline
.is-loaded} o []{.math .math-inline .is-loaded}, posso costruire un
sistema che la implementa?\
Sì, lo puoi fare ma ne esistono infiniti. Noi facciamo che scriverne
uno solo, quello in forma canonica di raggiungibilità, che tra
l’altro sarà per definizione completamente raggiungibile.\
Praticamente si costruisce “per ispezione” nel senso che guardi la
funzione di trasferimento e scrivi.
Il procedimento è questo - abbastanza stupido:
{.internal-embed}